Binômio de Newton

Oi, pessoal! Hoje o assunto é Binômio de Newton, e aqui vai um resuminho bacana pra ajudar. Bons estudos!

O Binômio de Newton, evidentemente desenvolvido pelo célebre Isaac Newton, serve para calcularmos o valor de um número binomial do tipo (a + b)ⁿ .

Quando o expoente n for 2, fica simples, apenas decorando "o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo" = (a + b)² = a² + 2ab + b² . Porém quando o expoente for um número maior, fica mais complicado, do que aplicar o método da distributiva ("chuveirinho").

A fórmula que Newton criou é a seguinte: 

O numero de termos da nova expressão será o expoente n + 1 .

Exemplo de utilização do binômio de Newton

Para saber rapidamente quais são os valores dos números binomiais, basta pesquisarmos o Triângulo de Pascal:

Então obtemos a expressão:

1.16x⁴.1 + 4.8x³.1 + 6.4x².1 + 4.2x . 1 + 1.1.1

1.16x⁴.1 + 32x³.1 + 24x².1 + 8x . 1 + 1

Caso em uma questão de vestibular seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica:

- troque qualquer letra do binômio por 1
- calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n.

No desenvolvimento que mostramos anteriormente, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada:

(2x+1)⁴

(2.1 + 1)⁴ = 3⁴ = 81

Geometria Espacial Parte 2

Olá pessoal, tudo bem? Hoje iremos continuar a comentar sobre a geometria espacial, ampliando assim nosso conhecimento sobre poliedros e corpos redondos, com o estudo da pirâmide e do cone.

• Pirâmide, primeiramente aprender seus elementos como, a base, vértice e aresta como vemos na imagem a seguir:

Não devemos esquecer que elas são classificadas de acordo com o polígono da base, portanto quando esta base for de um polígono regular e sua projeção ortogonal do vértice sobre o plano é o centro da base, esta pirâmide é chamada de pirâmide regular, como na imagem a seguir:

Mas se a sua projeção ortogonal da base não coincidir com o centro da base da pirâmide, a pirâmide é oblíqua, como no exemplo a seguir:

Depois que conhecemos estes conceitos podemos agora determinar a área e o volume de uma pirâmide dado por:

Não se esqueçam que a área de um triangulo equilátero é dada por:

• Cone, primeiramente aprender seus elementos como, a base, eixo, geratrizes e vértice como vemos na imagem a seguir:

Não devemos esquecer que elas são classificadas de acordo com a posição do eixo em relação ao plano da base, portanto se o eixo é perpendicular ao plano da base, temos um cone reto. Mas se seu eixo é oblíquo ao plano da base, temos um cone oblíquo. Veja os exemplos a seguir:

Depois que conhecemos estes conceitos podemos agora determinar a área e o volume de cone que é dado por:

Não se esqueçam destas propriedades:

Por hoje é só, qualquer dúvida nos mande um e-mail: carolinanf97@gmail.com

Probabilidade

Oi gente, nosso assunto de hoje é probabilidade. Como é um assunto que exige bastante atenção, aqui está vídeo-aulas que encontrei no Youtube para que vocês possam aprender melhor! Espero que gostem! Boa aula!
É só clicar em cima do link que vai direto para o vídeo! Boa noite!

Probabilidade Parte 1
Probabilidade Parte 2
Probabilidade Parte 3
Probabilidade Parte 4
Probabilidade Parte 5
Probabilidade Parte 6

Análise Combinatória

Hoje iremos falar sobre análise combinatória, que nada mais é um estudo da matemática e da lógica responsável por analisar possibilidades e combinações em uma determinada situação. Como análise combinatória é um assunto bastante abrangente devemos tratar de algumas propriedades: 

• Princípio fundamental da contagem, que é o número total de possibilidades de ocorrer um fato ou acontecimento, dado pelo produto x¹. x². x³. ... . xn.

• Fatorial de um número natural que é representado por n!, pode ser definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 a n. Assim, n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . .... . 3 . 2 . 1

• Permutação simples que são cada agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que se diferenciam pela ordem de seus elementos. O número de permutações desses elementod, é representdo por Pn é determinada por : Pn = n!

• Permutações com repetições, já é diferente, porque os elementos repetidos permutam entre si. Então a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_nvezes. É calculada da seguinte maneira :

• Arranjo simples onde se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos, pois elas são levadas em consideração. Então um arranjo com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

• Combinações simples de n elementos escolhidos de p a p são agrupamentos formados de um conjunto de n elementos. Essas combinações se diferenciam pela natureza de seus elementos. Pode ser determinado da seguinte maneira : 

 

Curiosidades da Geometria

    Pirâmide de Quéops

 O maior sólido geométrico feito pelo homem é a pirâmide de Quéops, no Egito e foi construída no século 25 a.C..                                                                     

 Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias. Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m2 e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.                                           

Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."

Os egípcios construíram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.

A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados quando a conquista do Egito foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."

                                                                Tampa de Esgoto

As tampas dos esgotos são circulares e não quadradas, porque uma tampa de esgoto quadrada poderia escorregar pelo buraco e cair dentro do esgoto, quando a voltássemos de lado.

Círculo

De entre todas as figuras planas com o mesmo perímetro, o círculo é a que tem maior área.

                                              Triângulo de Descarga

Nos tempos primitivos da civilização grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga, uma construção que permitia descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos túmulos e das cidadelas.

Devido ao peso, as portas podiam abater, mas, com o triângulo esse peso era suportado pelos postes laterais que eram maciços. Os triângulos de descarga eram geralmente abertos, mas podiam ser tapados e decorados, como acontece no caso da cidade de Mecenas com a porta dos leões.

                                                Pirâmide de Louvre

Outra pirâmide célebre construída nos nossos dias, ou melhor, em 1988, é a pirâmide de Louvre que tem de altura 21m e a base quadrada tem 34m de lado.  

                     

Determinantes

Olá, hoje continuaremos o assunto de Matrizes com Determinantes…
Determinante é um número que associa a cada matriz quadrada um número real. O determinante de uma matriz A, representado por det A, é o número quando se opera com os elementos dessa matriz. As determinantes são representadas da seguinte maneira: 

• Calculando a determinante:

Quando a matriz possui apenas 1 linha e 1 coluna, conhecida como matriz de ordem 1, o determinante será o único elemento dessa matriz: 

Quando a matriz possui 2 linhas e 2 colunas, conhecida como matriz de ordem 2, o determinante será a diferença entre os produtos da diagonal principal e da diagonal secundária. Veja o exemplo abaixo: 

Quando a matriz possui 3 linhas e 3 colunas, conhecida como matriz de ordem 3, o determinante é definido pela Regra de Sarrus, que consiste na repetição das duas primeiras colunas:

Existem várias propriedades que nos ajudam no cálculo de uma determinante, essas são elas:

1. Dada uma matriz A e a sua transposta (A'), suas determinantes possuem o mesmo valor, ou seja, det A = det A'.
2. Dada uma matriz A e a matriz B (mesmos elementos que a matriz A, porém com filas trocadas), conclui-se que det B = - det A.
3. Dada uma matriz A, em que uma fila possui todos os elementos iguais a 0, pode concluir que seu determinante também será igual a 0.
4. Dada uma matriz A, em que duas filas apresentam os mesmos elementos na mesma ordem, afirma-se que seu determinante é igual a 0.
5. Dada uma matriz triangular (seus elementos acima ou abaixo da diagonal principal, são iguais a 0), pode-se concluir que sua determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
6. Dada uma matriz A e uma matriz B (mesmos elementos da matriz A, com apenas 1 linha multiplicada por X), conclui-se que det A = x det B.

Existem também diversos teoremas que facilitam nosso calculo, esses são os principais:

1. Teorema de Laplace: consiste em encontrar o cofator de um elemento. O cofator de Aij por exemplo, é (-1)^i+j. Serve para matrizes de ordem maior ou igual a 2. Para calcular, é necessário que um elemento seja escolhido e seu cofator calculado. Assim como mostra a imagem a seguir: 

Depois é só multiplicar o cofator pela própria matriz e obterá o seu determinante.

2. Teorema de Jacobi: consiste no escalonamento de uma linha e coluna para que todos os elementos sejam transformados em 0. Funciona para matrizes de ordem 4. Sendo assim, a respectiva linha e coluna será eliminada e a matriz se torna de ordem 3.

3. Teorema de Binet: afirma que o determinante de uma matriz A multiplicado pelo determinante de uma matriz B, é igual ao determinante de A.B, ou seja, det A . det B = det AB.

Dica pra vocês:

Existe um canal no youtube chamado de "Nerckie". O canal só posta vídeos com aulas de matemática e é bem interessante pra quem tem dúvidas em qualquer assunto. Esse aqui é o link da aula de Determinantes, dêem uma olhadinha! 

http://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA&noredirect=1

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Matrizes

MATRIZES • Definição: Denomina-se matriz m X n um tabela regular formada por m • n números reais, dispostos em m (linhas) e n (colunas). Sejam m e n dois números inteiros maiores do que ou iguais a 1.

• As matrizes podem ser identificadas como:

1. Matriz genérica: Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da matriz. Para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica a linha em que o elemento se encontra e o segundo indica a coluna; por exemplo, a23 é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna. O elemento genérico de uma matriz A será indicado por (aij), em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra.

2. Matriz Quadrada: Ocorre quando m = n ( o numero de linhas é igual ou numero de colunas), denominando-se matriz quadrada de ordem n X n ou, simplesmente, de ordem n.

Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33… formam a diagonal principal da matriz (são os elementos aij com i=j) A outra diagonal da matriz quadrada denomina-se diagonal secundária (são os elementos aij com i+j=n+1)

3. Matriz Triangular: Ocorre quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz é triangular.

4. Matriz Diagonal: A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos é chamada de matriz diagonal.

5. Matriz Identidade: A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade e seu símbolo é In.

6. Matriz Nula: É a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.

7. Igualdade de Matrizes: Em matrizes de mesma ordem, os elementos que ocupam a mesma posição são denominados elementos correspondentes. Exemplo: a11 e b11 a22 e b22 Duas matrizes são iguais se, somente se, tem a mesma ordem e seus eleitos correspondentes são iguais.

• Ainda podemos realizar tais operações com matrizes:

1. Adição de Matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m X n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por por A+B, a matriz C do tipo m X n na qual cada elemento é obtido adicionando os elementos correspondentes de A e B. - A matriz oposta de uma matriz A: Denomina-se matriz oposta de uma matriz A, a matriz que somada com A da como resultado a matriz nula.

2. Subtração de Matrizes: Sendo A e B duas matrizes do tipo m X n, denomina-se diferença entre A e B (representada por por A - B a soma da matriz A com a matriz oposta de B. A - B = A + (-B)

3. Matriz Transposta de uma matriz dada: Denomina-se matriz transposta de A (indicada por A^t) a matriz n X m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.

4. Multiplicação de Matrizes: Dada uma matriz A = (aij) do tipo m X n e uma matriz B = (bij) do tipo n X p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indica-lá por AB.

5. Matriz Inversa: Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A^-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível.

Mais tarde tem post sobre Determinantes, que é um complemento do assunto de matrizes! Qualquer dúvida nos mande um e-mail: carolinanf97@gmail.com