Determinante é um número que associa a cada matriz quadrada um número real. O determinante de uma matriz A, representado por det A, é o número quando se opera com os elementos dessa matriz. As determinantes são representadas da seguinte maneira:
- Calculando a determinante:
Quando a matriz possui apenas 1 linha e 1 coluna, conhecida como matriz de ordem 1, o determinante será o único elemento dessa matriz:
Quando a matriz possui 2 linhas e 2 colunas, conhecida como matriz de ordem 2, o determinante será a diferença entre os produtos da diagonal principal e da diagonal secundária. Veja o exemplo abaixo:
Quando a matriz possui 3 linhas e 3 colunas, conhecida como matriz de ordem 3, o determinante é definido pela Regra de Sarrus, que consiste na repetição das duas primeiras colunas:
Existem várias propriedades que nos ajudam no cálculo de uma determinante, essas são elas:
- Dada uma matriz A e a sua transposta (A'), suas determinantes possuem o mesmo valor, ou seja, det A = det A'.
- Dada uma matriz A e a matriz B (mesmos elementos que a matriz A, porém com filas trocadas), conclui-se que det B = - det A.
- Dada uma matriz A, em que uma fila possui todos os elementos iguais a 0, pode concluir que seu determinante também será igual a 0.
- Dada uma matriz A, em que duas filas apresentam os mesmos elementos na mesma ordem, afirma-se que seu determinante é igual a 0.
- Dada uma matriz triangular (seus elementos acima ou abaixo da diagonal principal, são iguais a 0), pode-se concluir que sua determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
- Dada uma matriz A e uma matriz B (mesmos elementos da matriz A, com apenas 1 linha multiplicada por X), conclui-se que det A = x det B.
Existem também diversos teoremas que facilitam nosso calculo, esses são os principais:
- Teorema de Laplace: consiste em encontrar o cofator de um elemento. O cofator de Aij por exemplo, é (-1)i+j. Serve para matrizes de ordem maior ou igual a 2. Para calcular, é necessário que um elemento seja escolhido e seu cofator calculado. Assim como mostra a imagem a seguir:
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Depois é só multiplicar o cofator pela própria matriz e obterá o seu determinante.
2. Teorema de Jacobi: consiste no escalonamento de uma linha e coluna para que todos os elementos sejam transformados em 0. Funciona para matrizes de ordem 4. Sendo assim, a respectiva linha e coluna será eliminada e a matriz se torna de ordem 3.
3. Teorema de Binet: afirma que o determinante de uma matriz A multiplicado pelo determinante de uma matriz B, é igual ao determinante de A.B, ou seja, det A . det B = det AB.
Dica pra vocês:
Existe um canal no youtube chamado de "Nerckie". O canal só posta vídeos com aulas de matemática e é bem interessante pra quem tem dúvidas em qualquer assunto. Esse aqui é o link da aula de Determinantes, dêem uma olhadinha!
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