Progressão Geométrica (P.G.)

Agora dando continuidade ao assunto falado anteriormente, iremos falar sobre progressão geométrica (P.G.) são formadas por uma sequência numérica, onde estes números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …), onde a razão é 2

A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações, exceto o zero). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da sequência, e dividir pelo número anterior.

Fórmula do termo geral
 A seguinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma sequência em progressão geométrica:

a_n = a₁ . q^{(n – 1)}

Onde a é um termo, então a₁ refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo:

q = 2
a₁ = 5

Para descobrir, por exemplo, o termo a₁₂, faremos:
a₁₂ = 5 . 2 ^{(12 – 1)}

a₁₂ = 5 . 2¹¹

a₁₂ = 5 . 2048 = 10240

As PG’s podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão:

Oscilante (q < 0)
 

Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a sequência númerica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando.

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2

Crescente (q > 0)
 

Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a sequência será formada por números crescentes, como:

(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3

Constante
 

Nesta PG, a sequência numérica tem sempre os mesmos números. Para isso, a razão deve ser sempre 1:

(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1

Decrescente
 

As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da sequência são sempre menores do que o número anterior:

(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2
(-1, -3, -9, -27, -81, …)

Onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência).