Análise Combinatória

Hoje iremos falar sobre análise combinatória, que nada mais é um estudo da matemática e da lógica responsável por analisar possibilidades e combinações em uma determinada situação. Como análise combinatória é um assunto bastante abrangente devemos tratar de algumas propriedades: 

• Princípio fundamental da contagem, que é o número total de possibilidades de ocorrer um fato ou acontecimento, dado pelo produto x¹. x². x³. ... . xn.

• Fatorial de um número natural que é representado por n!, pode ser definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 a n. Assim, n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . .... . 3 . 2 . 1

• Permutação simples que são cada agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que se diferenciam pela ordem de seus elementos. O número de permutações desses elementod, é representdo por Pn é determinada por : Pn = n!

• Permutações com repetições, já é diferente, porque os elementos repetidos permutam entre si. Então a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_nvezes. É calculada da seguinte maneira :

• Arranjo simples onde se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos, pois elas são levadas em consideração. Então um arranjo com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

• Combinações simples de n elementos escolhidos de p a p são agrupamentos formados de um conjunto de n elementos. Essas combinações se diferenciam pela natureza de seus elementos. Pode ser determinado da seguinte maneira : 

 

Curiosidades da Geometria

    Pirâmide de Quéops

 O maior sólido geométrico feito pelo homem é a pirâmide de Quéops, no Egito e foi construída no século 25 a.C..                                                                     

 Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias. Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m2 e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.                                           

Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."

Os egípcios construíram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.

A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados quando a conquista do Egito foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."

                                                                Tampa de Esgoto

As tampas dos esgotos são circulares e não quadradas, porque uma tampa de esgoto quadrada poderia escorregar pelo buraco e cair dentro do esgoto, quando a voltássemos de lado.

Círculo

De entre todas as figuras planas com o mesmo perímetro, o círculo é a que tem maior área.

                                              Triângulo de Descarga

Nos tempos primitivos da civilização grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga, uma construção que permitia descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos túmulos e das cidadelas.

Devido ao peso, as portas podiam abater, mas, com o triângulo esse peso era suportado pelos postes laterais que eram maciços. Os triângulos de descarga eram geralmente abertos, mas podiam ser tapados e decorados, como acontece no caso da cidade de Mecenas com a porta dos leões.

                                                Pirâmide de Louvre

Outra pirâmide célebre construída nos nossos dias, ou melhor, em 1988, é a pirâmide de Louvre que tem de altura 21m e a base quadrada tem 34m de lado.  

                     

Determinantes

Olá, hoje continuaremos o assunto de Matrizes com Determinantes…
Determinante é um número que associa a cada matriz quadrada um número real. O determinante de uma matriz A, representado por det A, é o número quando se opera com os elementos dessa matriz. As determinantes são representadas da seguinte maneira: 

• Calculando a determinante:

Quando a matriz possui apenas 1 linha e 1 coluna, conhecida como matriz de ordem 1, o determinante será o único elemento dessa matriz: 

Quando a matriz possui 2 linhas e 2 colunas, conhecida como matriz de ordem 2, o determinante será a diferença entre os produtos da diagonal principal e da diagonal secundária. Veja o exemplo abaixo: 

Quando a matriz possui 3 linhas e 3 colunas, conhecida como matriz de ordem 3, o determinante é definido pela Regra de Sarrus, que consiste na repetição das duas primeiras colunas:

Existem várias propriedades que nos ajudam no cálculo de uma determinante, essas são elas:

1. Dada uma matriz A e a sua transposta (A'), suas determinantes possuem o mesmo valor, ou seja, det A = det A'.
2. Dada uma matriz A e a matriz B (mesmos elementos que a matriz A, porém com filas trocadas), conclui-se que det B = - det A.
3. Dada uma matriz A, em que uma fila possui todos os elementos iguais a 0, pode concluir que seu determinante também será igual a 0.
4. Dada uma matriz A, em que duas filas apresentam os mesmos elementos na mesma ordem, afirma-se que seu determinante é igual a 0.
5. Dada uma matriz triangular (seus elementos acima ou abaixo da diagonal principal, são iguais a 0), pode-se concluir que sua determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
6. Dada uma matriz A e uma matriz B (mesmos elementos da matriz A, com apenas 1 linha multiplicada por X), conclui-se que det A = x det B.

Existem também diversos teoremas que facilitam nosso calculo, esses são os principais:

1. Teorema de Laplace: consiste em encontrar o cofator de um elemento. O cofator de Aij por exemplo, é (-1)^i+j. Serve para matrizes de ordem maior ou igual a 2. Para calcular, é necessário que um elemento seja escolhido e seu cofator calculado. Assim como mostra a imagem a seguir: 

Depois é só multiplicar o cofator pela própria matriz e obterá o seu determinante.

2. Teorema de Jacobi: consiste no escalonamento de uma linha e coluna para que todos os elementos sejam transformados em 0. Funciona para matrizes de ordem 4. Sendo assim, a respectiva linha e coluna será eliminada e a matriz se torna de ordem 3.

3. Teorema de Binet: afirma que o determinante de uma matriz A multiplicado pelo determinante de uma matriz B, é igual ao determinante de A.B, ou seja, det A . det B = det AB.

Dica pra vocês:

Existe um canal no youtube chamado de "Nerckie". O canal só posta vídeos com aulas de matemática e é bem interessante pra quem tem dúvidas em qualquer assunto. Esse aqui é o link da aula de Determinantes, dêem uma olhadinha! 

http://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA&noredirect=1

Por hoje é só, qualquer dúvida nos mande um e-mail: carolinanf97@gmail.com

Matrizes

MATRIZES • Definição: Denomina-se matriz m X n um tabela regular formada por m • n números reais, dispostos em m (linhas) e n (colunas). Sejam m e n dois números inteiros maiores do que ou iguais a 1.

• As matrizes podem ser identificadas como:

1. Matriz genérica: Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da matriz. Para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica a linha em que o elemento se encontra e o segundo indica a coluna; por exemplo, a23 é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna. O elemento genérico de uma matriz A será indicado por (aij), em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra.

2. Matriz Quadrada: Ocorre quando m = n ( o numero de linhas é igual ou numero de colunas), denominando-se matriz quadrada de ordem n X n ou, simplesmente, de ordem n.

Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33… formam a diagonal principal da matriz (são os elementos aij com i=j) A outra diagonal da matriz quadrada denomina-se diagonal secundária (são os elementos aij com i+j=n+1)

3. Matriz Triangular: Ocorre quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz é triangular.

4. Matriz Diagonal: A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos é chamada de matriz diagonal.

5. Matriz Identidade: A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade e seu símbolo é In.

6. Matriz Nula: É a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.

7. Igualdade de Matrizes: Em matrizes de mesma ordem, os elementos que ocupam a mesma posição são denominados elementos correspondentes. Exemplo: a11 e b11 a22 e b22 Duas matrizes são iguais se, somente se, tem a mesma ordem e seus eleitos correspondentes são iguais.

• Ainda podemos realizar tais operações com matrizes:

1. Adição de Matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m X n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por por A+B, a matriz C do tipo m X n na qual cada elemento é obtido adicionando os elementos correspondentes de A e B. - A matriz oposta de uma matriz A: Denomina-se matriz oposta de uma matriz A, a matriz que somada com A da como resultado a matriz nula.

2. Subtração de Matrizes: Sendo A e B duas matrizes do tipo m X n, denomina-se diferença entre A e B (representada por por A - B a soma da matriz A com a matriz oposta de B. A - B = A + (-B)

3. Matriz Transposta de uma matriz dada: Denomina-se matriz transposta de A (indicada por A^t) a matriz n X m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.

4. Multiplicação de Matrizes: Dada uma matriz A = (aij) do tipo m X n e uma matriz B = (bij) do tipo n X p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indica-lá por AB.

5. Matriz Inversa: Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A^-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível.

Mais tarde tem post sobre Determinantes, que é um complemento do assunto de matrizes! Qualquer dúvida nos mande um e-mail: carolinanf97@gmail.com

Geometria Euclidiana

Olá, pessoal! Eu sei que hoje é domingo mas todo dia é dia de estudar. Hoje temos um assunto bem fácil que muitos confundem, e estamos aqui para ajudá-los.

Geometria Euclidiana

Observe uma proposição desse tipo:

"Duas retas não podem se interceptar em mais de um ponto."

Trata-se de uma proposição evidente por si mesma. Algumas proposições, contudo, podem não ser tão evidentes assim. Por outro lado, há outros fatos anteriores a essa proposição - sobre os quais elas se assentam - que o são. Na verdade, o nosso conhecimento está organizado de maneira ordenada, de tal modo que as proposições mais complexas possam ser deduzidas - ou demonstradas - a partir das mais simples.

Euclides e "Os Elementos"

Essa organização é que divide as proposições em postulados (proposições fundamentais, que não precisam de demonstração) e teoremas. Estes podem ser demonstráveis ou indemonstráveis. De qualquer modo, são inicialmente chamados de cadeias dedutivas (onde os fatos se encadeiam) e estão presentes na maior obra de referência da matemática: "Os Elementos", do grego Euclides.

Esse grande trabalho foi composto em aproximadamente 300 a.C., mas sofreu alterações, com erros e variações inevitáveis, por ter sido copiado e recopiado repetidas vezes ao longo dos séculos.

Uma boa edição do conteúdo original da obra chegou até os nossos dias através de meia dúzia de cópias manuscritas gregas, datando principalmente dos séculos 10 e 12 d.C. Cópias de "Os Elementos" nos chegaram também por meio de traduções árabes, mais tarde vertidas para o latim, durante o século 12. O livro foi impresso pela primeira vez em Veneza, no final do século 15 (apenas 50 anos depois da invenção de Gutenberg). Desde então calcula-se que pelo menos 1.000 edições foram publicadas, em muitos idiomas.

Certamente nenhuma obra matemática teve influência comparável a essa. "Os Elementos" estão divididos em 13 livros ou capítulos que falam sobre geometria, aritmética e álgebra geométrica. Euclides reuniu, nesse trabalho, toda a geometria desenvolvida até então no mundo antigo, tanto pelos discursos filosóficos gregos, quanto pelo empirismo egípcio, e organizou esse conhecimento em estruturas axiomáticas: um série de proposições de maior ou menor complexidade que dependem de outras mais simples.

Bíblia da geometria

Hoje, seu texto pode até ser considerado ingênuo, mas contava com todos os recursos do rigor e da linguagem disponíveis em sua época, e é um dos mais notáveis já escritos. Tornou-se uma espécie de Bíblia da geometria até o século 19, quando o rigor de suas provas passou a ser contestado.

O método utilizado por Euclides baseou-se na utilização de cadeias dedutivas, que obtém novos elementos a partir de outros anteriores. Entretanto, uma vez que não se pode retroceder indefinidamente em busca de elementos anteriores, há um momento em que se devem estabelecer os que serão os princípios fundamentais da teoria. Para Euclides, esses princípios têm o nome de postulados e noções comuns (ou axiomas).

Postulados:

1. Entre dois pontos distintos, existe e é única a reta que passa por eles

2. Prolongar um segmento indefinidamente até uma reta.

3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.

5. Se uma reta que cruza duas outras, isso é feito segundo ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, então as duas retas prolongadas indefinidamente se cruzarão do lado em que estão os ângulos menores do que dois ângulos retos.

Esse é o postulado das paralelas, e também se enuncia assim:

Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela à reta dada.

Geometria Plana Parte 1

Olá, gente tudo bem? Hoje falaremos sobre Geomtetria plana.

Primeiro é importante saber dos ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma reta transversal

a e e, b e f, c e g, d e h = ângulos correspondentes 
a = e, b = f, c = g, d = h 

a e h, b e g = ângulos colaterais externos 
a + h = 180º e b + g = 180º 

a e g, b e h = ângulos alternos externos. 

c e e =, d e f = ângulos alternos internos. 

c e f, d e e = ângulos colaterais internos. 

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º, ou seja: Se= 360º.

Para determinar área de um paralelogramo é A = b x h (b: base e h: altura), sendo que a altura é perpendicular a base. 

Para calcular a área de um trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado da soma multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2.

Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado por 2 (metade da área do retângulo).

A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo:

No círculo existe o setor circular que é uma região delimitada por dois segmentos de retas que partem do centro para a circunferência.

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Sistemas Lineares

Olá gente, o assunto de hoje será sistemas lineares:

Equação Linear
É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0


Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1 

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1


Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0


Classificação de um sistema linear 

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1	1	3
1	-1	1

Matriz incompleta

1	1
1	-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa

1	10	-12	120
4	-2	-20	60
-1	1	5	10

Matriz incompleta

1	10	-12
4	-2	-20
-1	1	5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:
Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0


Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1 

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1


Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8        10 – 6 + 4 = 8        8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0         10 – 6 – 4 = 0       0 = 0


Classificação de um sistema linear 

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1
pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa

1	1	3
1	-1	1

Matriz incompleta

1	1
1	-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa

1	10	-12	120
4	-2	-20	60
-1	1	5	10

Matriz incompleta

1	10	-12
4	-2	-20
-1	1	5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

Logaritmo

Oi gente, tudo bem com vocês? Hoje iremos falar sobre logaritmo! Os logaritmos foram introduzidos na matemática com o intuito de facilitar cálculos mais complexos. Através de suas definições podemos transformar multiplicações em adições, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões.Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência.
Dados dois números reais positivos a e b, onde a ≠ 1 e a > 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que a^x=b ou log_ab=x. Em que, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo. Veja os exemplos a seguir:

• log₂4 = 2, pois 2² = 4
• log₅125 = 3, pois 5³ = 125
• log₃81 = 4, pois 3⁴ = 81

Os logaritmos apresentam várias propriedades. Essas são elas: 

1. log_a1 = 0, pois a⁰ = 1
2. log_aa = 1, pois a¹ = a
3. log_ab = log_ac, logo b=c
4. a^logab = b
5. Caso a base não seja indicada: log a = log₁₀ a 
6. log_a (M.N) = log_a M + log_a N
7. log_a M/N = log_aM - log_a N
8. log_a Mⁿ = n . log_a M

Outra propriedade muito utilizada é a mudança de base, que consiste na resolução de problemas em que a base envolvia não é 10 nem o número de Euler, conhecido com e. Pode ser utilizada para qualquer base, desde que respeitadas as condições de existência. Exemplo:

Determine log₃2, sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477:

log₃2 = log 2/ log 3 

log₃2 = 0,301/0,477

log₃2 = 0,63

Função Logarítmica:

Toda função definida pela lei de formação f(x) =  log_a x, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. É representado pelo gráfico a seguir:

• Quando a > 1, a função é denominada crescente;
• Quando 0 < a < 1, a função é denominada decrescente;
• Os gráficos não intersectam o eixo das ordenadas (eixo y). 

• SUPER DICA: Para quem não conhece, o Projeto Medicina é um site para alunos que desejam fazer medicina e que fornece diversos materiais para facilitar o seu estudo. O site é esse aqui: http://projetomedicina.com.br/site/ 

• Para quem está com dúvida no assunto de logaritmo, nos mande um e-mail: carolinanf97@gmail.com 
• Lista de exercícios sobre logaritmo, do site Projeto Medicina (146 exercícios com resolução):  http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/399/matematica_logaritmos_exercicios.pdf